圆盘定理：

$|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$

圆盘定理：画圆盘：对角线元素$a_{ii}$ $（a + ib，a为实部、b为虚部）$为圆心，第$i$行其它元素的绝对值的和为半径，实边。$n$阶矩阵可画$n$个圆盘。

定理1
特征值在所画的圆盘内。

定理2
每个连续的独立的部分，有几个圆盘就有几个特征值。不能求具体的值，只能估计。

性质

• $n$个圆盘都不相交${ \ \ \ ⇒ \ \ \ }A$可相似对角化

• 若$A$为实矩阵，对特征多项式进行分解

  • 分解出一个一次项$λ$，出来一个实根
  • 分解出一个二次项$λ^2$，出现一对虚根，即实矩阵虚根一出出一对

• $n$个圆盘都不相交且$A$是实矩阵${ \ \ \ ⇒ \ \ \ }A$的特征值全是实数

  例1

$A = \left[\begin{array}{c} 1 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 \\\\ -\dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{2} & i & 0 \\\\ 0 & -\dfrac{i}{2} & 5 & \dfrac{i}{2} \\\\ -1 & 0 & 0 & 5i \end{array}\right]$

画出矩阵$A$的圆盘图，共有4个特征值。
$圆心为：5i，则（a + bi），即为（0，5）$

解

例2

$A_{4×4} = \left[\begin{array}{c} 9 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 8 & 1 & -4 \\ -1 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right]$

证明$A$至少有两个实根。

解

$A$为实矩阵，所以

$|{λE-A}| = λ^4 + a_2λ^3 + a_3λ^2 + a_4λ + |A|$

为实系数多项式。根为实数或浮数（出现为一对）

左侧仅有一个根，且必为实根（因为虚根成对出现）。

右侧有三个根，可能存在如下两种情况

• 2虚1实
• 3实

综上，$A$至少有两个实根。

例3

$A = \left[\begin{array}{c} 4 & \frac{1}{4} & (\frac{1}{4})^2 & \cdots & (\frac{1}{4})^{n-1} \\ \\ \frac{1}{5} & 5 & (\frac{1}{5})^2 & \cdots & (\frac{1}{5})^{n-1} \\ \\ \frac{1}{6} & (\frac{1}{6})^2 & 6 & \cdots & (\frac{1}{6})^{n-1} \\ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \frac{1}{n+3} & (\frac{1}{n+3})^2 & \cdots & (\frac{1}{n+3})^{n-1} & n+3 \end{array}\right]$

证明矩阵$A$所有特征值都为实数，且可逆，可相似对角化。

解

• 等比数列前$n$项和：$S_n = \dfrac{a_1 (1 - q^n)}{1 - q}$
• $1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1} = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$
• $q + q^2 + \cdots + q^{n-1} = \dfrac{q - q^n}{1 - q}$

• $S_4(n-1) = \dfrac{1}{4} + (\dfrac{1}{4})^2 + (\dfrac{1}{4})^3 + \cdots + (\dfrac{1}{4})^{n-1} = \dfrac{ \dfrac{1}{4} - (\dfrac{1}{4})^{n} }{ 1 - \dfrac{1}{4} } = \dfrac{1}{3} ( 1 - \dfrac{1}{4^{n-1}} ) < \dfrac{1}{3} < 1$
• $S_5(n-1) = \dfrac{1}{5} + (\dfrac{1}{5})^2 + (\dfrac{1}{5})^3 + \cdots + (\dfrac{1}{5})^{n-1} = \dfrac{ \dfrac{1}{5} - (\dfrac{1}{5})^{n} }{ 1 - \dfrac{1}{5} } = \dfrac{1}{4} ( 1 - \dfrac{1}{5^{n-1}} ) < \dfrac{1}{4} < 1$
• $S_i(n-1) = \dfrac{1}{i-1} ( 1 - \dfrac{1}{i^{n-1}} ) < \dfrac{1}{i-1} < 1$

故可以画出圆盘图如下图所示

$n$个圆盘互不相交，$n$个行圆盘均在右半平面即不包含原点。

所以$A$有个$n$个互不相同的实特征值，故$A$可逆且可相似对角化。