矩阵

数乘：
$kA = \left[\begin{array}{c} ka_{11} &ka_{12} & \dots &ka_{1n} \\ ka_{21} &ka_{22} & \dots &ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \dots &ka_{mn} \end{array}\right]$
乘积：整行分别×整列后相加
$\left[\begin{array}{c} a_{11} &a_{12} & \dots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} & \dots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots &a_{mn} \end{array}\right]_{m × n} . \left[\begin{array}{c} b_{11} &b_{12} & \dots &b_{1m} \\ b_{21} &b_{22} & \dots &b_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \dots &b_{nm} \end{array}\right]_{n × s}$
$= \left[\begin{array}{c} a_{11} b_{11}+a_{12}b_{21}+\dots+a_{1n}b_{n1} &a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+\dots+a_{1n}b_{n2} & \dots & a_{11}b_{1m}+a_{12} b_{2m}+\dots+a_{1n}b_{nm} \\ a_{21} b_{11}+a_{22}b_{21}+\dots+a_{2n}b_{n1} &a_{21} b_{12}+a_{22}b_{22}+\dots+a_{2n}b_{n2} & \dots & a_{21} b_{1m}+a_{22}b_{2m}+\dots+a_{2n}b_{nm} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{11}+a_{m2}b_{21}+\dots+a_{mn}b_{n1} & a_{m1} b_{12}+a_{m2}b_{22}+\dots+a_{mn}b_{n2} & \dots &a_{m1} b_{1m}+a_{m2}b_{2m}+\dots+a_{mn}b_{nm} \end{array}\right]_{m × s}$
- 性质：
- $AB ≠ BA$
- $A（BC）= (AB)C$
- $A(B+C) = AB +AC$
- $(kA)(lB) = kl.AB$
- $AE = A, EA = A$
- $OA = O ,EO =E$
伴随矩阵：设 $A=[A_{ij}]$ 是n阶矩阵，行列式 $|A|$ 的每个元素 $a_{ij}$ 的代数余子式 $A_{ij}$ 所构成的如下矩阵
$A^*= \left[\begin{array}{c} A_{11} &A_{21} & \dots &A_{n1} \\ A_{12} &A_{21} & \dots &A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots &A_{nn} \end{array}\right]$
称为矩阵 $A$ 的伴随矩阵.
- 计算性质：
- $AA^* = A^*A = |A|E$
- $A^* = |A|A^{-1}$
- $|A^*| = |A|^{n-1}$
- $(A^*)^{-1} = (A^{-1})^* = \dfrac{A}{|A|}$
- $（A^*）^T= (A^T)^*$
- $(kA)^* = k^{n-1}A^*$
- $(A^*)^* = |A|^{n-2}A$
- $r(A)= \begin{cases} n,如果r（A）=n， \\ 1,如果r（A）=n-1， \\ 0,如果r（A）< n-1. \end{cases}$
- 求解方法：
- （1） $A_ij = (-1)^{i+j} . 去掉i行j列剩下的（n-1）阶行列式$
- （2）若 $A$ 可逆，求出 $A{-1}$ , $A^* = |A|A^{-1}$
逆矩阵：设 $A$ 是n阶矩阵，如果存在矩阵 $B$ 使得 $AB=BA=E$ (单位矩阵)成立，则称 $A$ 是可逆矩阵或非奇异矩阵， $B$ 是 $A$ 的逆矩阵.
- 计算性质：
- $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
- $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$
- $|A|^{-1} = \frac{1}{|A|}$
- $|A|^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$
- $(A^{-1})^{-1} = A$
- $A^{T}可逆，（A^{T}）^{-1} = A(^{-1})^T$
- 求解方法：
- (1)用伴随矩阵，若 $|A| ≠ 0$ ， $A$ 可逆， $|A|^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$
- (2)初等变换法， $[A \vdots E ] \overset{初等行变换}{---→} [E \vdots A^{-1} ]$
- (3)分块矩阵：
  $\left|\begin{array}{c} A & O \\ O & B \end{array}\right|^{-1}=\left|\begin{array}{c} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{array}\right|$
  $\left|\begin{array}{c} O & A \\ B & O \end{array}\right|^{-1}=\left|\begin{array}{c} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{array}\right|$
- 以下性质等价：
- $A$ 是可逆矩阵
- $|A| ≠ 0$ ，即 $A$ 非奇异（可逆）
- $rank(A) = n$
- $A$ 的行（列）向量组线性无关
- $Ax = 0$ 只有零解
- 0不是 $A$ 的特征值
正交矩阵：n阶矩阵 $A$ ，满足 $AA^T=A^TA=E$ 。
- 计算性质：
- （1） $A$ 是正交矩阵 ⇔ $A^T=A^{-1}$
  推：设 $A^{-1}=B$ , $AA^T=A^TA=E$ , $AB=BA=E$ ,对应，得出 $A^T=A^{-1}$
- （2） $A$ 是正交矩阵⇒ $|A|^2=1$
  推： $|AA^T|=|A^TA|=|E|$ , $|A||A^T|=|E|$ , $|A|^2=1$
- 本质特征：判断是否为正交矩阵。任意一列平方为1，任意两列平方为0
  矩阵分块： $A = (α_1,α_2.α_3...α_i)$
  $\begin{cases} α_i^Tα_i=1 \\ α_i^Tα_j=0 \end{cases}$
转置矩阵： $A^T$ .eg:
$A=\left|\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right|$
$A^T=\left|\begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array}\right|$
行阶梯矩阵：矩阵中有零行，则零行都在矩阵的底部；每个非零元的主元（即该行最左边的某一个非零元）所在的列下面元素都是零。
- 画折线，折线处不为0，下边都是0
  $\left|\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right|$
行最简矩阵：满足行阶梯矩阵外，还需满足非零行的
- 画折线，折线处都为1，所占位置列其他元素都为0，折线下边都为0。
- 行最简矩阵折线处1所在的原矩阵 $A$ 所在的列，即为极大无关组。
  $\left|\begin{array}{c} 1 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right|$
满秩矩阵：矩阵 $A$ 的秩等于它的列数，为列满秩矩阵。矩阵 $A$ 的秩等于它的行数，为行满秩矩阵。当 $A$ 为方阵时，列满秩矩阵为满秩矩阵。
对称矩阵：满足 $A^T=A$ ，又称实对称阵
- $A^T=A$ ⇔ $a_ij=a_ji$
反对称阵： $A^T= -A$
对角矩阵：非主对角元素均为零的矩阵。
初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。
- 左行右列规则:
- 对矩阵AA左乘一个初等矩阵，等于对AA做相应的行变换
- 对矩阵AA右乘一个初等矩阵，等于对AA做相应的列变换
- 初等变换应用：
- （1）求逆矩阵： $[A \vdots E ] \overset{初等行变换}{---→} [E \vdots A^{-1} ]$
- （2）解矩阵方程Ax = b： $[A \vdots b] \overset{初等行变换}{---→} [B \vdots d ]$ $Bx = d$
- （3）求矩阵的最简形
- （4）求矩阵和向量组的秩：变换为行阶梯形
- （5）求向量组的极大无关组：化为行阶梯形，把折线处为1的 $A$ 矩阵中的列抽出即为极大无关组。
三角矩阵：

$A= \left[\begin{array}{c} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{array}\right]_{n×n}$

上三角矩阵

$A= \left[\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{array}\right]_{n×n}$

下三角矩阵

$A= \left[\begin{array}{c} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right]_{n×n}$

单位上三角矩阵

$A= \left[\begin{array}{c} 1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & 1 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right]_{n×n}$

单位下三角矩阵

$A= \left[\begin{array}{c} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & 1 \end{array}\right]_{n×n}$

行列式

由n阶方阵 $A = (a_{ij})_n×n$ 的元素所构成的n阶行列式。 $|A|$ 或 $det(A)$ 。
$|A|$ 中划掉第 $i$ 行，第 $j$ 列后，剩余元素构成 $n-1$ 阶行列式称为元素 $a_ij$ 的余子式，记作 $M_{ij}$
$(-1)^{i+j}M_ij$ 为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，记为 $A_{ij}$
$r$ 阶子式：矩阵 $A$ 中随便选 $r$ 行， $r$ 列，相交的点拉出来求行列式。

eg:2阶子式
$A = \left[\begin{array}{c} & & & \\ &a_{23} &a_{24} & \\ & & & \\ & a_{43} & a_{44} & \\ & & & \end{array}\right]$

$r$ 阶主子式：矩阵 $A$ 中随便选 $r$ 行，列为对应的列
$A = \left[\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \\ a_{21} & a_{22} &a_{23} & \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \\ & & & \end{array}\right]$
$r$ 阶顺序主子式：
- 1阶顺序主子式：第一行第一列
- 2阶顺序主子式：第二行第二列
- 3阶顺序主子式：第三行第三列

向量

n维向量：n个数 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 组成的有序数组， $α = [α_1,α_2,\dots,α_n]^T$ 或 $α = [α_1,α_2,\dots,α_n]$ 。
线性组合： $k_1α_1 + k_2α_2+\dots+ k_sα_s$ 是 $α_1,α_2,\dots,α_s$ 的线性组合。
线性组合： $k_1α_1 + k_2α_2+\dots+ k_sα_s = β$ ， $β$ 是 $α_1,α_2,\dots,α_s$ 的线性组合。
线性相关：存在不全为0的数使得 $k_1α_1 + k_2α_2+\dots+ k_sα_s = 0$ ,则称向量组 $α_1,α_2,\dots,α_s$ 线性相关。
线性无关： $k_1α_1 + k_2α_2+\dots+ k_sα_s = 0$ 中 $k$ 全为0.
极大线性无关组：p60
向量组的秩：

线性方程组

非齐次线性方程组： $Ax=b$
$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1, \\ \vdots \\ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1, \\ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1, \end{cases}$
- 有解充要条件：系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即 $r(A) = r(\overline{A})$ .
- 若 $r(A) = r(\overline{A}) = n$ ，则方程组有唯一解。
- 若 $r(A) = r(\overline{A}) < n$ ，则方程组有无穷多解。
- $Ax=b$ 无解 $⇔ r(A) +1 = r(\overline{A}) ⇔ b不能由A的列向量线性表出$
- 解的组成：
- 非齐次方程组通解 = 齐次方程组通解 + 非齐次方程组特解
- 解法：
- （1）对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵；
- （2）求导出组的一个基础解系；
- （3）求方程组的一个特解（可令自由变量全为0）
- （4）按解的结构写出。
齐次线性方程组： $Ax=0$ ，它是 $Ax=b$ 的导出组。
$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0, \\ \vdots \\ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0, \\ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0, \end{cases}$
基础解系：同时满足以下三个条件
- （1） $η_1,η_2,\dots,η_i$ 是 $Ax = 0$ 的解；
- （2） $η_1,η_2,\dots,η_i$ 是线性无关；
- （3） $Ax = 0$ 的任一个解都可由 $η_1,η_2,\dots,η_i$ 线性表出。
- eg：
  $\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3- x_4 = 0, \\ 2x_1 +- 5x_2 + 3 x_3-+2x_4 = 0,, \\ 7x_1 - 7 x_2 +x_3+4 x_4 = 0 \end{cases}$
  初等行变换为行最简形矩阵。
  $A = \left[\begin{array}{c} 1 & 0 &- \frac{2}{7} & - \frac{3}{7} \\ 0 & 1 &- \frac{5}{7} &- \frac{4}{7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$
  得到： $\begin{cases} x_1 =- \frac{2}{7} x_3 + - \frac{3}{7}x_4 , \\ x_2 =- \frac{5}{7} x_3 + - \frac{4}{7}x_4 , \end{cases}$
  令 $\lgroup \dfrac{x_3}{x_4} \rgroup = \lgroup \dfrac{1}{0} \rgroup 及 \lgroup \dfrac{0}{1} \rgroup ，则对应有 \lgroup \dfrac{x_1}{x_2} \rgroup = \lgroup \dfrac{\frac{2}{7}}{\frac{5}{7}} \rgroup 及 \lgroup \dfrac{\frac{3}{7}}{\frac{4}{7}} \rgroup$
  即得基础解系：
  $ξ_1 = \left(\begin{array}{c} \frac{2}{7} \\ \frac{5}{7} \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) ， ξ_2 = \left(\begin{array}{c} \frac{3}{7} \\ \frac{4}{7} \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$
增广矩阵：方程 $Ax = b$ 中的全体系数及常数所构成的矩阵。
$\overline{A} = \left[\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right]$
系数矩阵：由全体系数组成的矩阵。
$A = \left[\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right]$

特征值

定义：设 $A$ 是n阶矩阵，如果存在一个数 $λ$ 及非零的n维列向量 $α$ ，使得 $A α = λα$ 成立， $λ$ 为矩阵 $A$ 的特征值，非零向量 $α$ 是矩阵 $A$ 属于特征值 $λ$ 的特征向量。
$|λE - A| = 0$ 为 $A$ 的特征方程。
性质：
$\begin{cases} λ_1 + λ_2 +\dots+ λ_n = a_{11} + a_{22}+ \dots +a_{nn} \\ λ_1 λ_2 \dots λ_n = |A| \end{cases}$
- $λ^2 是A^2的特征值$
- $当A可逆时，\dfrac{1}{λ} 是 A^ {-1}的特征值$
- $kλ_0是kA的特征值$
- $A^T与A有相同的特征值$
求解：
- 求特征值：1、 $|λE - A| = 0$ 求方程的根 $λ$
- 2、用迹： $|λE - A| = λ^n - tr^{[1]}(A)λ^{n-1} +tr^{[2]}(A)λ^{n-2} + \dots +(-1)^{(n-1)} tr^{[n-1]}(A)λ^{1} +(-1)^ntr^{[n]}(A)$
- eg：
  $A = \left[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$
  找所有一阶主子式： $tr^{[1]}(A)= 1+5+2$
  找所有二阶主子式： $tr^{[2]}(A)= \left|\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{c} 5& 6 \\ 1 & 2 \end{array}\right|$
  找所有三阶主子式： $tr^{[3]}(A)= \left|\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0& 1 & 2 \end{array}\right|$

$|λE - A| = λ^3 - (1+5+2)λ^2 + (\left|\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{c} 5& 6 \\ 1 & 2 \end{array}\right|)λ-|A|$

求特征向量： $（λ_1E - A）X= 0、（λ_2E - A）X= 0$ 的基础解系 $α_1=()^T、α_2= ()^T、α_3 = ()^T$ ，得出特征向量 $k_1α_1、k_2α_2、k_3α_3$ ，其中 $k_1,k_2,k_3$ 为非零常数。
相似： 若存在n阶可逆方阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP = B$ ，则称 $B与A$ 相似，称 $P为$ 相应的相似变换矩阵。
- 性质(必要条件)
- $r(A) = r(B)$
- $|A| = |B|$
- $|λE - A |= |λE - B|$
- $\sum\limits_{}^{} a_{ii} = \sum\limits_{}^{} b_{ii}$
如果 $A$ 相似于对角矩阵，则称 $A$ 可相似对角化，简称为 $A$ 可对角化。
- 对角化条件：
- $A$ 为实对称矩阵
- $A$ 有n个不同的特征值
- $A$ 有n个线性无关的特征向量
等价： $PAQ = B$